Aplicaciones de sistemas de ecuaciones en economía

 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones en economía

Los sistemas de ecuaciones lineales son los objetos matemáticos que presentan mayor aplicabilidad en la vida cotidiana, estas se aprenden a usar desde los estudios más tempranos de la matemática a finales de la primaria y comienzo de la secundaria. Aquí estudiamos situaciones de equilibrio estático dadas por sistemas de ecuaciones linéales, particularizando a modelos de, precios de equilibrio e Modelo Input-Output

Precios de equilibrio: El concepto de equilibrio es fundamental en economía. Una situación de equilibrio es una situación estable u óptima, porque en ella la empresa opera con el menor coste posible, obtiene el máximo beneficio, la asignación de los recursos económicos es la mejor para la utilidad de un individuo, etc. Todas estas

Posibilidades tienen en común que se cuenta con varios fenómenos económicos que suceden simultáneamente y se debe determinar el punto o puntos en los que la situación es beneficiosa.

 

El primer equilibrio que veremos es el general, que consiste en analizar los fenómenos de la economía cuando todos los sectores que la componen se consideran de modo simultáneo. El primero que formuló matemáticamente esta situación fue Léon Walras (1834 – 1910).

 

Suponemos un mercado en el que los precios vienen dados sólo por la interacción entre la oferta y la demanda (libre competencia), es decir que las empresas carecen de poder para manipular el precio. En este caso, para calcular el equilibrio no hay más que igualar las curvas de oferta y de demanda. Si estas curvas están en función del precio, su

Intersección nos proporciona el precio de equilibrio.

Ejemplo:

Ejemplo 2.3: Consideramos x, y, z los precios de un mercado en el que se venden tres

productos A, B y C. Calcula los precios de equilibrio si se estima que la oferta (S) y la demanda

(D) de cada uno de ellos viene dada por

SA = 15x + y + 3z – 13 DA = 70 – 8x – y – z

SB = x + 20y + 10z – 10 DB = 93 – 2x – 4y – z

SC = 10x + 15y + 30z – 50 DC = 107 – x – 3y –5z

Se trata de calcular los precios para los que la oferta coincide con la demanda. Esto nos lleva a resolver el sistema de ecuaciones lineales que se obtiene al hacer SA=DA, SB=DB y SC=DC. Si pasamos todas las incógnitas a una parte de la igualdad y los términos independientes a la otra, el sistema queda de la forma siguiente

Solución:

 

Los precios de equilibrio son x = 3 u.m., y = 3 u.m., z = 2 u. m. donde x , y ,z ≥ 0

En ocasiones este tipo de problemas podría no tener solución porque no existen los precios de equilibrio (sistema incompatible), porque alguno de ellos es negativo o porque la oferta o la demanda sean negativas, y en este caso no tendría sentido económico

Modelo Input-Output: Este modelo es utilizado para analizar las relaciones existentes entre diferentes sectores de producción y consumo integrados a la economía de una nación, sin embargo, en el contexto actual su uso está más limitado, como, por ejemplo, grandes empresas. Sin embargo, en su época represento un modelo factible para encontrar un equilibrio general

El modelo supone que la economía objetivo está conformada por diferentes sectores de producción y servicios. Además, existe una demanda interna y una demanda externa las cuales se tienen que satisfacer respectivamente

Ejemplo:

Consideramos una economía formada por sectores interrelacionados, de modo que cada uno produce un único bien. Cada sector debe atender las demandas (inputs) de los n sectores y unas demandas externas (demandas finales).

Representación matricial

Se trata de calcular el nivel de producción de

cada sector para satisfacer esas demandas