Teorema de Roché-Frobenius

 Teorema de Roché-Frobenius

El teorema de Rouché-Frobenius es una gran herramienta en el Álgebra, nos permite determinar que solución tendrá un sistema de ecuaciones estudiando el rango de la matriz de los coeficientes (A)y la matriz ampliada (A*)

El teorema estable que:

• Si Rag(A)=Rag(A*) = nro. de características es un sistema compatible determinando (S.C.D) y tiene una única solución
• Si Rag(A)=Rag(A*) < nro. de características es un sistema compatible indeterminado (S.C.I) y tiene infinitas soluciones
• Si Rag(A)=Rag(A*) ≠ nro. de características Es un sistema incompatible y no tiene solución

Rango de una matriz: El rango de una matriz A pertenece Mmxm M(R) es el máximo número de filas linealmente independiente que hay en A.

 

Consideremos el sistema de ecuaciones

La matriz del sistema es:

 

La matriz ampliada es:

 

Vamos a estudiar el rango de ambas matrices. Buscamos en A si existe un menor de orden 3 no nulo. Por ejemplo:

 

 

 

Si Rag(A)= 3 implicara necesariamente que el Rag(A*), ya que el menor |C1C2C3| también está incluido en la matriz ampliada (A*)- Por lo tanto: Si Rag(A) =Rag(A*)= 3 < 4 nro de incógnitas, es un sistema compatible indeterminado (S.C.I) y tiene infinitas soluciones.